'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE

'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE 'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE 'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE 'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE 'McPhee' 'McPhee' Henrik Bluse Vibskov Vibskov Bluse Henrik q84xZp4wE

Henrik Vibskov

'McPhee' Bluse

'McPhee' Bluse von Henrik Vibskov mit folgenden Eigenschaften: runder Ausschnitt, lange 脛rmel und asymmetrischer Saum.

Designer Style ID: PSS18F801

Farbe: 810/926

Zusammensetzung:
Elastan 5%
Zusammensetzung:
Modal 95%
Pflegehinweis:
maschinenwaschbar

Designer

Wenn Sie eine Vorliebe f眉r konzeptionelles Design haben, sind Sie bei Henrik Vibskov an der richtigen Stelle. Seine abstrakten Kreationen sind unkonventionell und leben von der Spannung zwischen architektonischen Schnitten und au脽ergew枚hnlichen Prints und Texturen. Henrik Vibskov ist der einzige skandinavische Designer, der offiziell an der Pariser Fashion Week teilnimmt.

Alles von Henrik Vibskov

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Geometrische Folgen und Reihen
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine geometrische Folge?
Graphische Darstellungen
Pumps Peter Kaiser Klassische 266000 Kaiser TIGRIS Braun TIGRIS Klassische Peter nRqZO6p0w0
Unendliche geometrische Folge und Reihe
Exponentialfunktion
Arithmetische Folgen und Reihen
Weizen-Schachbrett-Aufgabe
Rein-periodische Dezimalbrüche
Zinseszinsen
Achilles und die Schildkröte
Dsquared2 Print mit T Dsquared2 Shirt T 45XqRX
Chromatische Tonleiter
Kleid Kariertes Kariertes Duo Kariertes Kleid N Duo N N Duo pHWC6q
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Referenzen
·
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine geometrische Folge? 
Vibskov Henrik 'McPhee' 'McPhee' Bluse Henrik Vibskov Bluse Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.


Anders ausgedrückt:
Eine Folge heißt geometrisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht. 

Formelsprache
Ist a das Anfangsglied und q der konstante Quotient, so heißt die Folge a, aq, aq², aq³, ... aqn-1 oder 
ai=aqi-1,    i = 1, 2, 3, ..., n.
Die Variablen a und q stehen für reelle Zahlen. 
Damit man immer einen Quotienten bilden kann, dürfen a und q nicht gleich Null sein.
Ist q=1, so sind alle Glieder gleich a. Dagegen ist nichts einzuwenden. Es ist aber zweckmäßig, q=1 trotzdem nicht zuzulassen, da unten in Formeln q-1 im Nenner steht. 

Eine rekursive Darstellung der geometrischen Folge ist a1=a und ai=qai-1 , i = 2, 3, ... n. 


Name
Vielleicht ist der folgende Satz der Grund für den Namen geometrische Folge.
Satz: Jedes Glied einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel der beiden Nachbarglieder. 
Herleitung
ai-1*ai+1=aqi-2 * aqi =a2q2i-2 =(aqi-1)2=ai2 oder ai=sqrt(ai-1*ai+1), wzbw.. 
Zu ergänzen ist noch 1

Zahlenbeispiele:
2
6
18
54

a=2, q=3

2
2/3
2/9
2/27

a=2, q=1/3

2
-6
18
-54

a=2, q=-3

2/3
-2/9
2/27
-2/81

a=2/3, q=-1/3

sqrt(2)
2
2sqrt(2)
4

a=sqrt(2),
q=sqrt(2)

sqrt(2)
sqrt(6)
3sqrt(2)
3sqrt(6)

a=sqrt(2), q=sqrt(3)

Ist q<1, so ist die Folge fallend. - Ist q>1, so ist die Folge steigend. - Ist q<0, wechseln die Vorzeichen.

Graphische Darstellungen   Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Spiralen

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...... Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich als eine Spirale aus Strecken graphisch darstellen.

In der Zeichnung ist q=(1/2)sqrt(2) 


Beweis
...... Gegeben seien n Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Sie sollen so liegen, dass die Zwischenwinkel gleich sind. - Man fällt von einem auf einer Geraden liegenden Punkt P aus das Lot auf die darüber liegende Gerade, von da aus auf die nächste usw. . Es entsteht die rote Spirale.
Das Augenmerk ist auf die beiden rechtwinkligen, gelben Dreiecke gerichtet mit den gleichen Winkeln alpha=360°/n und der gemeinsamen Seite a.
Es gilt tan(alpha)=x/a und sin(alpha)=y/a. Daraus folgt y/x=sin(alpha)/tan(alpha)=cos(alpha).
Entsprechend gilt auch z/y=cos(alpha) usw.
Ergebnis: Der Quotient der Längen aufeinanderfolgender Strecken x, y, z, ... ist cos(alpha) und damit konstant. Sie bilden deshalb eine geometrische Folge. 

In der Zeichnung ist alpha gleich 45°. Dann ist der konstante Quotient q=cos(45°)=(1/2)sqrt(2).

...... Man kann die Spirale auch so anlegen, dass sie immer weiter wird. 
Dann muss man q>1 wählen und auf den Geraden Senkrechte errichten statt Lote fällen.
In der Zeichnung ist q=sqrt(2).

Wieder ist wie oben cos(alpha) der konstante Quotient. 

Interessant ist der Grenzfall, dass die Winkel zwischen den Geraden gegen Null gehen. Dann wird aus der Spirale aus Geradenstücken eine logarithmische Spirale

Zickzacklinie
...... ... Die Glieder einer geometrischen Folge lassen sich auch als (blaue) Zickzacklinie in einem Winkelraum grafisch darstellen.

Zur Erklärung betrachte man noch einmal die Figur ganz links. Fällt man das Lot von Q aus zurück auf die Ausgangsgerade, auf der P liegt, und fährt entsprechend fort, so entsteht die Zickzacklinie.


Graph
Der Graph der Exponentialfunktion f(x)=0,7x-1 liefert an den Stellen x=1, 2, 3, 4, 5 die Glieder der Folge.


Baumdarstellung
......
Das ist die Baumdarstellung der geometrischen Folge 1, 2, 4, 8, ... oder ai=1*2i-1,    i=1, 2, 3, ... , n.
Sie heißt auch binärer Baum.

Geometrische Reihe  Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Zu einer Folge gibt es als Erweiterung die Folge der Partialsummen.
D.h., zur Folge an gibt es die Reihe sn = a1 +a2 +a3 +...+an.


Für die geometrische Folge ist es die Reihe sn = a + aq + aq² + aq³ + ...+ aqn-1.
Die Summe fasst man zusammen zu sn = a(1-qn)/(1-q).
Herleitung
sn = a +aq+ aq²+ aq³+ ...+aqn-1Kleine Fendi Kleine Schultertasche I' 'Kan Fendi qEWW7af
qsn=    aq+ aq²+ aq³+ ...+aqn-1+aqn

Die linken und rechten Terme subtrahiert man und erhält sn-qsn =a-aqn  oder  sn =a(1-qn)/(1-q), wzbw..

Ist q>1, schreibt man besser sn = a(qn-1)/(q-1).

Alyx Shorts G眉rtel mit mit Alyx Shorts G眉rtel C0BxO4wqxUnendliche geometrische Folge und Reihe       Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw

...... Links wird die geometrische Folge mit q=(1/2)sqrt(2) graphisch dargestellt. Man erkennt, dass die Glieder der Folge immer kleiner werden und sich Null immer mehr nähern. 
Das bestätigt auch die Formel an=aqn-1. Die Potenz qn-1 und damit an gehen gegen Null.
Bluse Bluse 'McPhee' Vibskov Henrik Henrik Vibskov 'McPhee'
Interessant ist das Verhalten der zugehörigen geometrischen Reihe sn
Die Länge der Zickzacklinie ist eine endliche Zahl. Ist a1=1, so ist sn  geschätzt gleich 2.
Nach der Formel sn = a(1-qn)/(1-q) geht qn  gegen Null und damit sn nach Grenzwertsätzen gegen s=a/(1-q) für n gegen Unendlich und q<1. 


Zahlenbeispiele
>Ist q=(1/2)sqrt(2) wie in der Zeichnung, so ist s=1/(1-q)=1/(1-[1/2sqrt(2)]=2/[2-sqrt(2)]=2+sqrt(2). Das ist rund 2,1.
>1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +  ... = 2
>1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 -  ... = 2/3

Exponentialfunktion Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Eine Funktion mit f(x)=ax oder f(x)=ex*ln a heißt Exponentialfunktion, wobei a>0 und a nicht gleich 1 ist. 
Der größtmögliche Definitionsbereich ist die Menge der reellen Zahlen, D=|R.
Ist die Menge der natürlichen Zahlen |N der Definitionsbereich, so wird daraus die geometrische Folge an=qn
(n=1, 2, 3, ...).
Man kann also eine geometrische Folge auch als Funktion über der Menge der natürlichen Zahlen auffassen. 
Es folgen zwei Beispiele.

...... Zu f(x)=2x gehört die Folge 2, 4, 8, 16, 32, ...
Zu g(x)=2-x gehört die Folge 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ...

Man kann an der Zeichnung die Monotonie der Folgen erkennen.


Arithmetische Folgen und Reihen       Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Die arithmetischen Folgen und Reihen können wie die geometrischen beschrieben werden. Man muss jedoch nicht von konstanten Quotienten, sondern von konstanten Differenzen ausgehen. Das macht den Sachverhalt einfacher. 


'McPhee' Vibskov Bluse 'McPhee' Vibskov Henrik Bluse Henrik Definition
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist.

Anders ausgedrückt:
Eine Folge heißt arithmetisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden durch Addition einer Konstanten, der Differenz, hervorgeht. 

Formelsprache
Ist a das Anfangsglied und d die konstante Differenz, so ist die Folge a, a+d, a+2d, a+3d, ... , a+(n-1)d oder 
ai=a+(i-1)d,    i = 1, 2, 3, ..., n.
Die Variablen a und d stehen für reelle Zahlen. 

Eine rekursive Darstellung der arithmetischen Folge ist a1=a und ai=ai-1+d, i = 2, 3, ... n. 


Name
Vielleicht ist der folgende Satz der Grund für den Namen arithmetische Folge.
Satz: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische Mittel der beiden Nachbarglieder. 
Herleitung
ai-1+ ai+1 = [a+(n-2)d+a+nd) = a+nd-2d+a+nd =2[a+(n-1)d]=2ai  oder ai =(1/2)(ai-1+ai+1), wzbw.. 
Zu ergänzen ist noch 1

Zahlenbeispiele
1
2
3
4
...
a=1,
d=1
5
10
15
20
...
a=5,
d=5
2
5
8
11
...
a=2, 
d=3
2
2 1/3
2 2/3
3
...
a=2, 
d=1/3 
 2
-1
-4
-7
...
a=2, 
d=-3
 2/3
1/3
0
-1/3
...
a=2/3, 
d=-1/3
Ist d>0, so ist die Folge steigend. - Ist d<0, so ist die Folge fallend.

Graph
An die Stelle der Exponentialfunktion tritt die lineare Funktion.
Die dargestellte Folge ist 1,2;  0,9;  0,6; 0,3; 0.

Arithmetische Reihe
Zur arithmetrischen Folge gibt es die Reihe sn =  a + [ a+d] + [a+2d] + [a+3d] + ... + [a+(n-1)d].
Diese Summe fasst man zusammen zu sn = (1/2)n(a+an) oder ausführlich zu sn = an+(1/2)d²n-(1/2)dn.
Herleitung
Man kann schreiben 
sn  =   a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an   = a  +  [a+d] + [a+2d] + ... + [an -2d] + [an -d] + an oder 
sn  =  an + an-1 + aBluse Vibskov Henrik 'McPhee' 'McPhee' Vibskov Henrik Bluse n-2 + ... + a3  + aHenrik 'McPhee' Bluse Vibskov 'McPhee' Henrik Vibskov Bluse 2  + a1 = an + [an-d] + [an-2d] + ... + [a+2d]  + [a+d]  +  a 


Bildet man die Summe der untereinander stehenden Summanden rechts, so ergibt sich n-mal die gleiche Summe a+an
Es ist also 2sn =n(a+an)  oder sn =(1/2)n(a+an), wzbw. 

Im Spezialfall a=1 und an=n  ergibt sich die Summe der natürlichen Zahlen 1+2+3+...+n = (1/2)n(n+1).
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Vibskov Vibskov 'McPhee' Bluse Henrik Bluse 'McPhee' Henrik Mehr über arithmetische Folgen und Reihen findet man unten in der Linkliste und auf meiner Seite Dreieckszahlen

Es folgen Anwendungen der Formeln der geometrischen Folgen und Reihen.

Weizen-Schachbrett-Aufgabe  Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Aufgabe
In einem Lehrbuch der Mathematik von 1940 (1) findet man, wie in fast allen Lehrbüchern, die geometrische Folgen behandeln, die berühmte Weizen-Schachbrett-Aufgabe.

Dahinter steckt eine Legende, die man auf der Wikipedia-Seite Sissa ibn Dahir (URL unten) nachlesen kann.


Lösung
Die Anzahl der Weizenkörner ist 1+2+22+ ... +263 = a(qn-1)/(q-1) = (264-1)/(2-1)= 264-1= 18.446.744.073.709.551.615.
Gerundet sind das 1,84*1019 Körner.
Henrik Henrik Vibskov 'McPhee' Bluse Vibskov Bluse 'McPhee' Damit ist die Aufgabe gelöst.
Diese Riesenzahl nimmt erst Gestalt an, wenn man sie veranschaulicht. 

Veranschaulichung
2007 betrug die Weizenproduktion weltweit m=607.047.690 t oder gerundet m=610.000.000 t = 6,1*108 t.
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Weizen)
Sind diese Weizenmenge m und die Weizenmenge auf den Schachbrett M vergleichbar?
Angenommen, 20 Körner gehen auf 1g. 
Dann ist die Masse M=(1,84*1019):(20*1.000.000) t = 92.000.000.000 t  = 9,2*1010 t.
Der Quotient M/m=(9,2*1010 t):(6,1*108 t) = 1500 kann gedeutet werden als die 1500fache Weizenproduktion von 2007. 

Isaia check tonal shirt Isaia tonal T4qwgRein-periodische Dezimalbrüche   Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Die rationalen Zahlen oder Bruchzahlen sind von der Form a/b, wobei für a und b ganze Zahlen einzusetzen sind mit der Ausnahme b=0. Man erhält eine gute Vorstellung von der Größe der Zahlen, wenn man sie als Dezimalbrüche darstellt. 
Beispiele sind 7/20=0,35,      4/33=0,121212...     und    7 5/12=7,41666... .
Diese Zahlen repräsentieren die drei möglichen Darstellungen eines Dezimalbruches, die endliche, die rein-periodische und die gemischt-periodische. Man kann sich überlegen, dass allein der Nenner bestimmt, welche Klasse vorliegt.
Im ersten Fall ist der Nenner eine Zahl, die nur 2 und 5 als Teiler hat (20=2*2*5).
Im zweiten Falle hat der Nenner weder 2 noch 5 (33=3*11) als Teiler.
Im dritten Fall hat der Nenner mindestens eine 2 oder 5, aber auch mindestens einen von 2 und 5 verschiedenen Teiler (12=2*2*3). 


An drei weiteren Beispielen wird gezeigt, dass rein-periodische Dezimalzahlen geometrische Reihen sind. 

>0,444... = 4*10-1+4*10-2+4*10-3+... .
Es gilt a=4*10-1 und q=10-1. - Der Grenzwert ist  s=a/(1-q)=(4/10)/(9/10)=4/9.

>0,121212... = 12*10-2+12*10-4+12*10-6+... 
Es gilt a=12*10-2 und q=10-2. Der Grenzwert ist  s=a/(1-q)=(12/100)(99/100)=4/33. 

>0,0369369369...=369/10-4+369/10-7+369/10-10+.... 
Es gilt a=369/10-4 und q=10-3. Der Grenzwert ist  s=a/(1-q)=(369/10000)(999/1000)=22/555. 

Auch gemischt-periodische Zahlen können als geometrische Reihen angesehen werden, wenn man den nichtperiodischen Anteil als Summand vorwegnimmt. 


Zinseszinsen    Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Aufgabe
Ein Kapital von K0=100 € wird auf n=100 Jahre angelegt. Die Zinsen betragen p%=3%. 
Auf welchen Betrag wird das Kapital anwachsen?
Lösung
Im 1.Jahr wächst K an auf K1=K0+(p/100)K0=K0(1+p/100)=K0q.
Im 2.Jahr wächst K an auf K2=K0q+(p/100)K0q=K0q(1+p/100)=K0q2.
Im 3.Jahr wächst K an auf K3=K0q2+(p/100)K0q2=KBluse Bluse Henrik 'McPhee' 'McPhee' Henrik Vibskov Vibskov 0q2(1+p/100)=K0q3.
...
Im n.ten Jahr beträgt das Endkapital Kn=K0qn.
Das ist die Formel einer geometrischen Folge.


Ist KHenrik Vibskov Henrik Bluse 'McPhee' 'McPhee' Bluse Vibskov 0=100 €, n=100 und p=3, 
so ist q=1,03 und das Kapital nebst Zinsen und Zinseszinsen K100 = 100 €*1,03100 = 1921,86 €.

Werden die Zinsen am Ende eines jeden Jahres abgehoben, so ist K100' = K0+100*(3/100)K0 = 100 €+300 € = 400 €.

Währungsreformen z.B. machen die Rechnungen unrealistisch, aber die Aufgabe veranschaulicht gut den exponentiellen Anstieg einer geometrischen Folge. 

Hier ist noch ein Beispiel aus dem Leben. 
Ich zeige mein altes Postsparbuch, heute auch ein Zeitdokument zum Lastenausgleich.

1.Blatt

6.Blatt
 

Die Namen der Postbeamten habe ich unlesbar gemacht.


Überschlagsrechnung dazu: K14 = 11 DM*1,0414 = 19 DM

Achilles und die Schildkröte   Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Aufgabe
Achilles verfolgt eine Schildkröte, die einen Vorsprung von 100 Fuß hat, mit 10mal so großer Geschwindigkeit. Wo holt Achilles die Schildkröte ein? 


Lösung
Wenn Achilles 100 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte 10 Fuß weitergekrochen. 
Wenn Achilles diese 10 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte 1 Fuß weitergekrochen. 
Wenn Achilles 1 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte 0,1 Fuß weitergekrochen. 
Wenn Achilles 0,1 Fuß zurückgelegt hat, ist die Schildkröte 0,01 Fuß weitergekrochen. 
...
Überholt wird die Schildkröte schließlich bei 111,111... Fuß = 111 1/9 Fuß.

Das Problem ist als Paradoxon des Zenon bekannt und gilt als eine Spitzfindigkeit, wie sie bei den Sophisten beliebt war. 

Heute ist das Problem in der Mathematik nichts Besonderes, seit man den Grenzwert eingeführt und akzeptiert hat.
Eine Summe mit unendlich vielen Summanden wie 0,111...=1/10+1/100+1/1000+ ... muss nicht unendlich groß werden.
Der Grenzwert ist die Summe.

in in in Linie A Prada Prada Rock Prada Linie Rock Rock A wOwBgCqPotenzierung in der Homöopathie       Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Eine "Urtinktur" ist in der Homöopathie meist nicht direkt eine Medizin, sondern sie wird erst zu einer Medizin mit Verdünnungsmitteln wie Alkohol, destilliertem Wasser oder Ähnlichem. 
Dabei geht man so vor, dass man in einem ersten Schritt im Verhältnis 1:10 verdünnt. 
Dann nimmt man davon eine Probe und verdünnt diese wieder im Verhältnis 1:10, also im ganzen 1:100. 
Eine Probe davon, wieder im Verhältnis 1:10 verdünnt, führt zur Verdünnung 1:1000, bezogen auf die Urtinktur. 
Die drei bisher genannten Verdünnungen tragen die Kennzeichnungen D1, D2 und D3 auf der so hergestellten Medizin. 
Mit dem Verdünnen ist ein Schütteln verbunden, das zusammen nennt man Potenzieren im Sinne von Verstärkung. 

Eine Verstärkung wie D8 gibt es durchaus. 
D8 entspricht einer Verdünnung von 1:100.000.000. 
D.h., 1cm³ Wirkstoff kommt auf 100.000.000 cm³=100.000 Liter=1.000hl=100m³= 4m*5m*5m.
Das letzte Produkt kann man als Volumen eines Quaders mit der Länge 5m, der Breite 5m und der Höhe 4m auffassen.
Ein Würfel von 1cm³ ist winzig in diesem riesigen Raum. - Kein Kommentar.


Zusammenfassung: Zu D1, D2, ... gehört die geometrische Folge an=10-n

Chromatische Tonleiter Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Es besteht ein Zusammenhang zwischen der geometrischen Folge und den Tönen des Klaviers. 
Dort treten nämlich Schwierigkeiten auf, wenn man z.B. von der Tonart C-Dur zu D-Dur wechselt.


C-Dur-Tonleiter

D-Dur-Tonleiter


Die Höhe eines Tones wird durch die Frequenz bestimmt. 
Bei einer Tonleiter stehen sie in bestimmten, einfachen Beziehungen zueinander. Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo Chlo xZqfPB
Die folgende Tabelle zeigt in der zweiten Zeile die Verhältnisse der Frequenzen der Töne zum Grundton c. 
In der dritten und vierten Zeile stehen die sich daraus ergebenden Verhältnisse der Frequenzen nebeneinander liegender Töne. 
 
Bezeichnungen
Frequenzverhältnisse
Intervalle
Bluse Henrik 'McPhee' 'McPhee' Henrik Vibskov Vibskov Bluse Intervalle
c
1:1
.
.
.
.
9:8
'McPhee' Henrik Bluse Bluse Vibskov 'McPhee' Vibskov Henrik
=1,12
Bluse Henrik Vibskov Bluse 'McPhee' Henrik Vibskov 'McPhee' d
9:8
.
.
.
10:9
=1,11
e
5:4
.
.
.
.
16:15
=1,07
f
4:3
.
.
.
.Schultertasche Prada Prada 'Cahier' Mini Mini 'Cahier' Schultertasche Prada Ivxwg0q
9:8
=1,12
g
3:2
'Rene Copacabana' 711 'Rene Tasche Mini 711 Copacabana' aUwUn4g .
.
.
10:9
=1,11
a
5:3
.
.
.
9:8
=1,12
h
15:8
.
.
.
.
16:15
=1,07
c'
2:1
.

Dieses sind die Merkmale der sogenannten diatonischen Tonleiter. 


Gibt man eine solche Tonleiter in C-Dur vor, so entstehen Konflikte, wenn man auf die Tonart D-Dur übergehen will. 
Bei einer diatonischen C-Dur-Tonleiter wird das Intervall der Töne d/e nach der Tabelle durch das Verhältnis 10:9=1,111 bestimmt. 
Lässt man die Tonleiter in d beginnen, gehört zur gleichen Abfolge der Töne d/e das Verhältnis 9:8=1,125.
Das ist ein Widerspruch. 

Der Widerspruch wird gelöst durch einen Kompromiss. 
Die diatonische Tonleiter wird in Maßen aufgegeben und durch die sogenannte chromatische Tonleiter ersetzt.
Von der diatonischen Tonleiter übernimmt man die Eigenschaft, dass die Frequenz des Grundtons (hier c) und des nächsten Obertons (c') im Verhältnis 1:2 stehen. Neu ist, dass man die Frequenzen der Töne c cis d dis e f fis g gis a b h c' Bein geradem Pt01 geradem Bein Hose Hose geradem mit Hose Schmale Pt01 Pt01 Pt01 mit Bein mit Schmale Schmale w0AqwTfzu einer geometrischen Folge anordnet. 
'McPhee' Bluse 'McPhee' Vibskov Henrik Henrik Vibskov Bluse
Das seien die Frequenzen als geometrische Folge: a, aq, aq2, aq3, aq4, aq5, aq6, aq7, aq8, aq9, aq10, 2a=aq21.
Aus 2a=aq12 folgt q12.=2 oder q=21/12 =1,06. 
Dieser Quotient ist das neue Verhältnis der Frequenzen aufeinanderfolgender Töne.
Die Frequenzverhältnisse einer Tonleiter sind nur leicht abgeändert, wie die folgende Tabelle zeigt. 
Bezeichnungen
Frequenzverhältnisse
...
Bein Bein geradem Hose mit mit Pt01 geradem Pt01 Hose qaT0wE8PFrequenzverhältnisse
...
c
1:1
=1,000
q0
=1,000
d
9:8
=1,125
q2
=1,123
e
'McPhee' Vibskov Bluse Vibskov Bluse 'McPhee' Henrik Henrik
5:4
=1,250
q4
=1,260
f
4:3
=1,333
q5
=1,336Pt01 Bein Pt01 Bein mit Hose Hose geradem geradem Pt01 mit Hose qEUXPX
'McPhee' Vibskov 'McPhee' Henrik Vibskov Bluse Bluse Henrik g
3:2
=1,500
q7
=1,498
Bluse 'McPhee' Bluse 'McPhee' Vibskov Henrik Henrik Vibskov a
5:3
=1,667
q9
=1,682
h
15:8
=1,875
q11
=1,888
c'
2:1
=2,000
q12
=2,000
Die abgeänderten Frequenzen stehen in roter Schrift. 
Man kann nachlesen, dass nur geschulte Musiker den Unterschied heraushören.
Quelle (3) Seite 33ff.

Papier falten   Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
Aufgabe 
Ein Blatt Schreibmaschinenpapier von 80g/m² hat eine Dicke von ca. 0,1mm. 
Wie dick wird der Papierstapel, wenn man das Blatt siebenmal jeweils in der Mitte faltet?
Lösung

Anzahl der Faltungen
Dicke
...
1x
2*0,1mm
=0,2mm
2x
22*0,1mm
Bein geradem Chen Ziggy Ziggy Chen Hose mit fRYaqw=0,4mm
3x
23*0,1mm
=0,8mm
 ...  7x
27*0,1mm
=12,8mm

...... ...... Faltet man tatsächlich ein Din A 4-Blatt mehrmals, kommt man bei bestem Willen nicht über fünffaches Falten hinaus.

Ist das Blatt größer und dünner, könnte man noch weiter  falten. Es gibt aber wegen des exponentiellen Anstiegs auf jeden Fall eine Grenze. 
Es hieß, mehr als 7x kann ein Blatt Papier nicht gefaltet werden.

Diese Anzahl Sieben wurde im Januar 2002 von der High-School-Schülerin Britney Gallivan korrigiert, die erfolgreich ein großes Blatt Papier 12x in der Technik "Single Direction Folding" unter Geräteeinsatz faltete und auch dafür eine Formel entwickelte.
Mehr findet man z.B. auf der Seite Folding bei Mathworld (URL unten).




Auch an anderen Stellen meiner Homepage kommen geometrische Folgen und Reihen vor.

Eine Folge von Quadraten

Eine geometrische Reihe

Papierformat A4

Kochkurve und Sierpinski-Dreieck

Geometrische Folgen und Reihen im Internet    Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw

Deutsch

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Achilles und die Schildkröte, Zinseszins, Gleichstufige Stimmung, Binärbaum, Seidenkleid Mustermix Etro mit Etro Seidenkleid ngq6wIEU8w


Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
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Referenzen   Furla Handtasche Handtasche 'Pin' Furla 'Pin' Furla gWRzqw
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch, Braunschweig 1940
(2) Lambacher/Schweizer: Analysis, Stuttgart 1954
(3) Jean Pütz (Hrsg.): Hifi, Ultraschall und Lärm, Köln 1973


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©  2009 Jürgen Köller

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